I metodi di calcolo che utilizziamo durante un processo di pianificazione finanziaria hanno impatti notevoli sui risultati finali. Ad esempio utilizzare dati medi storici calcolati secondo il più conosciuto metodo aritmetico fornisce numeri decisamente differenti rispetto all’utilizzo di una media calcolata in modo geometrico. Se quest’ultima è la più corretta da utilizzare nel mondo degli investimenti, la sua complessità di calcolo rappresenta purtroppo un ostacolo. Ma esiste un trucco che ci permetterà di ottenere la media geometrica partendo dalla media aritmetica.
Il metodo di calcolo della media è fondamentale per avere risultati corretti
In un articolo del 2018 intitolato “Il Gioco delle Medie” avevo dimostrato come cambiando il metodo di calcolo dei rendimenti storici ottenuti dai mercati finanziari si potevano ottenere risultati decisamente diversi. E fuorvianti per chi pianifica.
Prendiamo quasi sempre per buoni i dati che ci vengono forniti da consulenti, schede prodotti o siti internet vari.
Ma conoscere quale metodo di calcolo è stato utilizzato per ottenere un certo rendimento non è un dettaglio da poco quando si decide di investire del denaro nel lungo periodo.
A questo punto meglio fare un breve riassunto sulla differenza che c’è tra i due metodi di calcolo, media aritmetica e media geometrica.
Supponiamo di avere 20 anni di performance annue di un investimento, tutte in fila.
La media aritmetica è semplicemente la somma dei dati divisa per il numero di rilevazioni.
La media geometrica alla somma sostituisce la moltiplicazione dei numeri estraendo la radice quadrata invece che dividere per le rilevazioni.
Per chiarire ancora meglio il concetto riprendo una parte di quell‘articolo.
Supponiamo di avere 10 mila euro e di investirli nell’azione X che ha un prezzo per comodità proprio di 10 mila euro. Nei due anni successivi l’azione X si comporta in questo modo. Il primo anno raddoppia il valore +100% (quindi il suo valore sale a 20 mila euro). Il secondo anno l’azione perde il 50% (quindi ritorna a 10 mila euro). Se risolviamo la questione con una semplice media aritmetica delle performance a due anni ottenniamo +25% = (+100% -50%)/2. Peccato che il risultato come abbiamo visto non è corretto. Come investitore mi ritrovo infatti dopo due anni 10 mila euro, quindi crescita zero. Dove sta l’inganno? La media geometrica è colei che è in grado di svelare dove sta il problema.
Partendo sempre dai soliti 10 mila euro. L’azione raddoppia di valore il primo anno (quindi fa +100% e sale di valore a 20 mila) e poi vede dimezzato il suo valore l’anno successivo (-50% e così torniamo a 10 mila euro). L’investitore che aveva investito 10.000 euro torna quindi al punto di partenza. In questo caso la media geometrica dell’investimento è zero, esattamente il risultato reale per l’investitore il quale non avrà effettivamente un Euro nel suo portafoglio.
Attenzione a quale media ci viene presentata
Chi presenta medie di rendimenti puntuali anno per anno o sta commettendo un inconsapevole errore, oppure è perfettamente consapevole di tutto ciò e sta cercando di ingannarci.
Naturalmente anche il sottoscritto usa molto spesso la media aritmetica per velocizzare il calcolo.
Quando si tratta però di rendimenti di lungo periodo cerco di evitare (o comunque lo segnalo) perchè so che il risultato di quella simulazione potrebbe essere fuorviante. Sbagliato ma di quanto?
Il post di oggi vuole proprio completare l’articolo del 2018. Lo spunto per fare questo mi arriva da uno dei libri che più hanno segnato la mia “carriera” da investitore.
Come misurare in modo semplice la differenza tra media aritmetica e geometrica
Antti Ilmanen nel suo libro “Rendimenti attesi. Investire sfruttando i premi al rischio offerti dai mercati finanziari” indica un metodo di trasformazione della media artimetica in geometrica che ritengo sia alla portata di tutti.
In sostanza l’autore spiega nel libro come misurare quanto del rendimento medio basato sul calcolo aritmetico dobbiamo sottrarre per ottenere una più attendibile media geometrica (che ricordo essere sempre inferiore).
Se disponiamo del dato della media aritmetica e della volatilità annualizzata dello strumento sul periodo, abbiamo tutto ciò che serve per ottenere la differenza tra media aritmetica e geometrica.
Provo a fare un esempio.
Se un indice azionario ha una volatilità annualizzata del 20% nel corso di 20 anni di analisi, quello che dobbiamo calcolare è la varianza.
La varianza è uguale al quadrato della deviazione standard alias volatilità.
La varianza è data da quindi 20% (ovvero 0.2 = 20/100) elevato al quadrato, quindi 0.04 = 4%.
La media geometrica è perciò uguale alla media aritmetica – la metà della varianza.
Essendo la varianza pari al 4% nel nostro esempio, il 2% sarà la differenza attesa che dovrebbe esserci tra la media aritmetica e la media geometrica del nostro esempio.
Naturalmente nel caso di strumenti meno volatili la differenza sarà più bassa.
Se ad esempio un indice obbligazionario ha una volatilità annua del 7%, la differenza tra media aritmetica e geometrica dei rendimenti sarà indicativamente 0.25%. Ripetiamo il calcolo per ripassare.
La volatilità dello strumento è 7%. Eleva al quadrato 0.07 (7/100) e ottengo un risulatato di 0,049 ovvero 0,49%. Divido per 2 questo numero e ottengo 0,25%. Sottraggo alla media aritmetica 0,25% e otterrò la media geometrica.
Spero di non aver perso nessuno per strada ma questo esempio può essere utile a chi, spulciando un factsheet di un qualsiasi fondo di investimento o ETF, vuole capire qual’è il reale rendimento che avrebbe ottenuto al termine di un certo periodo di investimento.
